最值定理和介值定理（最值定理条件）

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若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在[a，b]上有最大值与最小值

证明

先证明其有界，（应用致密性定理）倘若f在[a，b]上无界，则对任意正整数n，存在Xn∈[a，b]，使得f(Xn)>；n。依次取n=1，2…，则得到数列{Xn}（[a，b]。由致密性定理，它含有收敛子列{Xnk}，记lim(k→∞)Xnk=ξ。

由a≦Xnk≦b及数列极限的保不等式性，ξ∈[a，b]。利用f在点ξ连续，推得lim(k→∞)f(Xnk)=f(ξ)<；+∞

最值定理条件

闭区间，只要不是常数就一定有最值；开区间，有极值才有最值

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